交错级数一定收敛吗 交错级数
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1、7．3 任意项级数
2、 正项和负项可以任意出现的级数叫做任意项级数. 任意项级数的判敛问题是较复杂的. 我们主要讨论一种特殊的级数,即交错级数的收敛性. 交错级数的特征是它的通项的符号正、负项相间,所以它的收敛性有一定规律.
3、7．3．1 交错级数
4、定理1 (莱布尼兹准则) 若交错级数 中的序列 单调递减, 且 , 则
5、 (1) 收敛, 且其和满足
6、 (2) 它的第 n 项余和 的绝对值满足
7、 (满足定理1条件的级数称为莱布尼茨型交错级数)
8、例1 级数 , , 都是莱布尼茨型交错级数, 它们都收敛. 而级数 , , 却都发散. 这些交错级数是下面要讲的所谓条件收敛的级数.
9、*7.3.2: 绝对收敛与条件收敛
10、定理2：若级数 收敛, 则级数 收敛.
11、 对定理2可以作如下证明: 注意到 ,根据比较判定准则, 由 收敛, 推出 收敛. 再由定理6.1(四则运算),由于 收敛和 收敛,就推出 收敛.证毕 .
12、 由例1可以看出, 定理2的逆命题不成立. 因此不能由 发散推断 发散.( 但如果用达朗贝尔判别法或根值判别法判定了 发散, 则 必发散, 因为此时 .)
13、定义2：如果级数 收敛, 则称 绝对收敛；如果级数 发散, 而 收敛, 则称 为条件收敛.
14、例2：级数 绝对收敛( ). 因为 , 而 收敛.
15、例3：判别级数 的收敛性, 其中 .
16、解：用达朗贝尔判别法考察 的收敛性, 因为
17、 故当 时, 原级数绝对收敛；当 时, 原级数发散；当 时, 条件收敛；当 时, 发散. 概括起来, 当 , 1]时, 原级数收敛.
18、 绝对收敛级数有以下基本性质(证明从略).
19、性质1：若级数 绝对收敛, 其和为 S , 则任意交换其各项次序而得的新级数(称做原级数的更序级数)也绝对收敛, 其和仍为 S .
20、 这表明, 求有限项和使用的交换律, 对绝对收敛级数求“无限项之和”也适用. 然而条件收敛级数则不行. 对于条件收敛的级数, 适当更换其各项次序, 可使之收敛于任何给定的常数, 也可使它发散.(详细讨论可以参阅有关教科书)
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